Der Betrag einer komplexen Zahl
Der Betrag einer komplexen Zahl ist
folgendermaßen definiert:
Diese Definition des Betrags einer komplexen Zahl entspricht dem Abstand der Zahl (in der Darstellung in der Gauß'schen Zahlenebene) vom Ursprung des Koordinatensystems.
Der Abstand einer komplexen Zahl und der dazu konjugiert komplexen Zahl
ist gleich (),
da bei der Definition einer konjugiert komplexen Zahl nur das Vorzeichen des b
(bei der Darstellung (a;b)) differiert und laut Definition des Betrages einer
komplexen Zahl a und b quadriert werden, somit also der Unterschied des
Vorzeichens ohne den Verlust einer weiteren Lösung wegfällt.
Da , gilt auch .
Da die Produkte komplexer Zahlen bei verändertem Vorzeichen des
Imaginärteils oder des Realteils sich nur in ihrem Vorzeichen voneinander
unterscheiden (Beträge von komplexen Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen sind
gleich), gilt auch: |