Mathematische Definition

Die Mathematische Definition einer komplexen Zahl lautet wie folgt:
"Der Bereich der komplexen Zahlen besteht aus der Menge aller geordneten Paare (a;b) reeller Zahlen a und b, in der zwei Rechenoperationen und erklärt sind" (Wissensspeicher Mathematik, S.58)
Dies bedeutet, dass eine komplexe Zahl wie bereits beschrieben aus einem Paar (a;b) besteht, wobei a und b aus der Menge der reellen Zahlen stammen.

Mit diesen Paaren kann man Additionen und Multiplikation (und deren Umkehrungen, also Subtraktionen und Divisionen) durchführen.

Ebenso wird verdeutlicht, dass die Menge der reellen Zahlen in der Menge der komplexen Zahlen enthalten ist.

Im Folgenden gelte für die Rechnung mit komplexen Zahlen:

Das Zeichen := deutet an, dass eine mit diesem Zeichen aufgestellte Gleichung als Definition anzusehen ist.

Ich benutze in dieselben Operatorensymbole wie in . Streng genommen ist dies nicht zulässig. Da jedoch jede Rechenart der komplexen Zahlen auf eine Rechenart zwischen reellen Zahlen zurückgeführt werden kann, kommt es jedoch zu keinen Komplikationen.

Die Addition komplexer Zahlen ist folgendermaßen festgelegt:

Hierbei wird die Addition komponentenweise vorgenommen, also werden Re(z) und Img(z) der beiden komplexen Zahlen einzeln addiert.

Die Multiplikation:

Dies führt zu der Feststellung, dass jede reelle Zahl a als (a;0) dargestellt werden kann, ebenso wie die imaginäre Zahl ib (b multipliziert mit i) als (0;b).