Die Mathematische Definition einer komplexen Zahl lautet wie folgt:
Mit diesen Paaren kann man Additionen und Multiplikation (und deren Umkehrungen, also
Subtraktionen und Divisionen) durchführen.
Ebenso wird verdeutlicht, dass die Menge der reellen Zahlen
Im Folgenden gelte für die Rechnung mit komplexen Zahlen:
Das Zeichen := deutet an, dass eine mit diesem Zeichen aufgestellte Gleichung
als Definition anzusehen ist.
Ich benutze in
Die Addition komplexer Zahlen ist folgendermaßen festgelegt:
Hierbei wird die Addition komponentenweise vorgenommen, also werden Re(z) und Img(z) der beiden komplexen Zahlen einzeln addiert.
Die Multiplikation:
Dies führt zu der Feststellung, dass jede reelle Zahl a als (a;0) dargestellt
werden kann, ebenso wie die imaginäre Zahl ib (b multipliziert mit i) als (0;b).
"Der Bereich 
der komplexen Zahlen besteht
aus der Menge aller geordneten Paare (a;b) reeller Zahlen a und b, in der zwei
Rechenoperationen 
und 
erklärt sind" (Wissensspeicher Mathematik, S.58)
Dies bedeutet, dass eine komplexe Zahl wie bereits beschrieben aus einem Paar (a;b)
besteht, wobei a und b aus der Menge der reellen Zahlen stammen.
in der Menge der komplexen Zahlen enthalten ist.
dieselben Operatorensymbole
wie in .
Streng genommen ist dies nicht zulässig.
Da jedoch jede Rechenart der komplexen Zahlen auf eine Rechenart zwischen
reellen Zahlen zurückgeführt werden kann, kommt es jedoch zu keinen Komplikationen.
