
Bei dieser Abbildung gilt
, wobei gilt:

Der Winkel
wird Argument von z genannt.
Da
sowie
für beliebige
gleich ist,
ist das Argument von z (arg z) nicht eindeutig bestimmt.
Dies ist der Fall bei Vielfachen von
,
die zum Argument addiert werden.
Die komplexe Zahl z=(0;0) kann nicht in der trigonometrischen Form dargestellt
werden, da ihr kein Argument eindeutig zugeordnet werden kann.
Da
, gilt für die trigonometrische Darstellung folgendes:

Diese Form ist eine Darstellung in Polarkoordinatenform.
In dieser Form kann man ebenso jede reelle Zahl - wie auch schon in der
Gauß'schen Darstellungsform - darstellen:
Für jede positive reelle Zahl a gilt:
, da
gleich 0 sein muss, da jede reelle Zahl im Koordinatensystem auf der x-Achse
rechts des Ursprungs liegt. Für jede negative reelle Zahl gilt natürlich:

(Das Argument, welches die Ausrichtung auf der x-Achse nach links beschreibt,
ist
)
Weiterhin kann man zur einfacheren Rechnung für cos und sin folgende Zusammenhänge feststellen: